Pyeon–Ahn SAT (2) 양적 관계

문제

---

해설

Step 1. 실험 I 식 세우기

실험 I과 III의 피스톤이 단열되어 있지 않으므로 등온, 피스톤의 고정장치가 풀려있으므로 등압이기 때문에 $V \propto n$이 성립한다. 따라서 질량이 일정한 실린더 내에서 $d = \dfrac{w}{V} \propto \dfrac{1}{n}$이다. 즉 $n_{\textrm{반응 전}}\,:\,n_{\textrm{반응 후}}$가 실험 I에서는 $5\,:\,4$, 실험 III에서는 $4\,:\,3$이다. 여기에서 $a>c$라는 것을 알 수 있는데, 연속적으로 B를 첨가하는 실험으로 해석한다면 실린더 속 기체의 몰수는 점점 감소하다가 A가 모두 반응한 이후 다시 증가한다고 볼 수 있으므로 실험 I에서 모두 반응한 물질은 B라는 것을 알 수 있다.

$a$와 $c$가 정수이므로, $l$도 정수이다.

또 $n \geq 0$이므로, $5l \geq 1$; 즉 $l$은 자연수이다.

$c=a-l+1$이므로, 반응비는 $a:1:(a-l+1)$이다.

Step 2. 실험 III에서 모두 반응한 물질 찾기

실험 III에서 모두 반응한 물질을 B라고 가정 해보자.

$y \geq 2$이므로, $\dfrac{1}{4} \leq l \leq \dfrac{1}{3}$이다. 이는 $l$이 자연수라는 조건에 위배된다. 따라서 실험 III에서 모두 반응한 물질은 A이다.

Step 3. 실험 III 식 세우기

문제 조건에서 실험 I의 반응 후 전체 기체의 양($n-a+c=4l$)은 실험 III의 반응 후 전체 기체의 양과 동일하므로 실험 III의 반응 후 총 몰수는 $4l$, 반응 전 총 몰수는 $4l \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{3}l$이다.

(4)에 (3)을 대입하면

양변에 $a$를 곱하면

$l \neq 0$이므로

여기에서 $5l-1$이 4의 배수가 되어야 하므로 $l=1,\:5,\:9,\:\cdots$ 이다.

Step 4. $(a,\:l,\:y,\:c,\:n)$ 찾기

이 중 $y$가 정수인 순서쌍은 $l=9,\:21,\;33, \:\cdots$일 때다.

문제에서 $\dfrac{xy^{2}}{n}+a-c$의 최솟값을 구하라고 했는데, $\dfrac{xy^{2}}{n}+a-c$의 값은

(i) $a=33,\:l=9,\:y=4,\:c=25,\:n=44$일 때: $\dfrac{16}{44}x_{1}+8\:\:(0<x_{1}<4)$

(ii) $a=78,\:l=21,\:y=21,\:c=58,\:n=104$일 때: $\dfrac{64}{104}x_{2}+20\:\:(0<x_{2}<8)$

설사 $x_{1} \xrightarrow{} 4-$, $x_{2} \xrightarrow{} 0+$라 하더라도 (i)에서는 $\dfrac{16}{11}+8<10$이고 (ii)의 값은 20이므로 (i)은 항상 (ii)보다 작다. 즉 $l$이 커질수록 $\dfrac{xy^{2}}{n}+a-c$은 계속 커지기 때문에,

$a=33,\;l=9,\;y=4,\;c=25,\;n=44$일 때 최소가 된다.

Step 5. $x$ 구하기

I에서 반응 후 결과에 B $1$몰을 첨가하면

(B 첨가 전 기체의 전체 몰수) : (B 첨가로 인한 반응 후 기체의 전체 몰수) $=36\,:\,34$인데, B를 첨가하기 전 실린더의 고정장치를 잠갔고, 실린더 속 온도는 일정하기 때문에 $P\propto\dfrac{1}{V}$가 성립한다.

즉 (B 첨가 전 실린더의 압력) $=1\textrm{atm}$, (B 첨가로 인한 반응 후 실린더의 압력) $=\dfrac{17}{18}\textrm{atm}$이다.

$\dfrac{17}{18}\textrm{atm}$이 실험 II에서의 반응 후 실린더 압력이므로, $PV\propto n$에 의해

(실험 II에서의 반응 후 기체의 전체 몰수) $=44\times\dfrac{17}{18}=\dfrac{374}{9}$이다.

Step 6. 실험 II 식 세우기

(i) $x\geq\dfrac{4}{3}$

$x>y=4$이므로 조건에 위배된다.

(ii) $x<\dfrac{4}{3}$

$x<y=4$이므로 조건을 만족한다.

$\therefore \dfrac{x y^{2}}{n}+a-c$의 최솟값은 $\dfrac{11}{36}\times 4^{2}\times\dfrac{1}{44}\times(33-25)=\dfrac{1}{9}+8=\dfrac{73}{9}$

$p=9,\;q=73\;\longrightarrow\;p+q=\boxed{\bm{82}}$

---

정답

82

---

Comment

이 문제가 기반으로 하는 교육청 기출문제가 있다. 바로 2017년 7월 학력평가 화학Ⅰ 19번이다. 일단 이 문제는 내가 듣던 김준T의 기출문제집에 수록되지 않아서 알게 되었다. 말이 이상하게 들릴 수 있지만, 그 당시에 나는 지금까지 평가원과 교육청에서 출제된 모든 양적/중화 문제들을 모으는 중이었는데, 거기에 그동안 풀어본 적 없는 문제가 하나 존재했기 때문이었다. 그래서 왜 김준T의 기출문제집에서 이 문제가 빠졌는가에 대해 고민하다가, 문제를 풀어보니 그 이유를 알 수 있었다.

문제를 풀다보면 $(n+1):(n-a+c)=5:4$ ($a$, $c$는 반응계수)라는 비례식이 나오는데, 나는 여기에서 더 이상 진전을 할 수 없었다. 교육청에서 제공하는 해설을 찾아보니 갑자기 이 식에서 $n=4$을 도출하는 것을 볼 수 있었다. 이상함을 느껴 다른 기출문제집 해설서와 YouTube 등을 찾아본 결과, $a$와 $c$가 자연수임을 근거로 $n+1=5$, $n-a+c=4$임을 확정하고 있었다—하지만 이는 옳지 못한 풀이이다. 실제로 $n=44$, $a=33$, $c=25$일 때도 이 식이 성립하기 때문이다. 실제로 수험생 커뮤니티에 예전에 누군가가 본인과 같은 생각을 하여 글을 올린 적이 있었다. 크게 공론화되지 못한 게 아쉽게 하지만…

아무튼 이 문제 오류를 발견한 뒤에, 좀 더 어렵게 꼬은 후 화학Ⅱ 내용을 일부 첨가하여 만들어낸 것이 이 문제이다. 즉 여러 개의 순서쌍을 모두 나열해보아야만 문제를 풀 수 있게끔 한 것이다. 이 문제의 시초인 170719 문제에서 내가 $(n,\:a,\:c)=(44,\:33,\:25)$ 순서쌍을 어떻게 찾았는지, 그리고 실제 문제와 옳은 풀이가 무엇인지 궁금한 사람들을 위해 자세한 내용을 하단에 pdf로 첨부해두었다. (새 탭에서 열기)

---

History

• 최초 출제일: 2022.06.01.
• 해설 작성일: 2022.06.01.
• 웹 업로드일: 2023.02.05.